Probabilidades: Os pombos e seus dejetos

15/09/2010 § 4 comentários

Eu fui perseguido por desastres naturais durante toda a minha vida. Dentre eles, as vezes que fui alvo de cagadas de pombo foram com certeza das piores.

Como o intuito desse blog é o de trazer informações completamente inúteis para vocês, resolvi ir ao extremo logo e, dando continuidade à seção de probabilidades, calcular a chance de uma pessoa ser acertada por um cocô de pomba durante um ano de sua vida.

Primeiro, devemos estimar a população de pombos. Acho que 1 bilhão (um para cada 6 pessoas) de pombos no mundo é um bom número (lembre-se, é uma estimativa!). Agora, calcula-se a chance de uma mísera cagadinha acertar uma pessoa. A área da Terra é dada por:

A_{Terra}=4 \pi R^2 \approx 5.10^{14} m^2

O raio da Terra é dado por R = 6,4.10^6 m. Vamos considerar somente a parte do globo coberta por Terra, cerca de 30% de sua superfície. Estimando agora á area de secção de um ser humano (onde pode cair o cocô) de acordo com a figura (dois “retângulos” + uma circunferência):

A_{humano} = 2.15.20 + \pi 10^2 cm^2 \approx 0,1m^2

Portanto, a probabilidade é:

p_0 = \frac{A_{humano}}{0,3A_{Terra}} \approx 7.10^{-16}

Eu não cheguei a pesquisar o intervalo exato entre a ocorrência desses desejos em cada pombo. Mas, creio que seja algo em torno de trinta minutos. Em um ano, um pombo caga \frac{1ano}{30min} \approx 2.10^4 vezes. Então, para um bilhão de pombos a probabilidade total de alguém ser atingido por um cocô é:

p = 10^9.2.10^4.p_0 = 14.10^{-3} \approx 10^{-2} = 1\%

Assim, a chance de ser presenteado em 20 anos é de vinte vezes isso, 1-0,99^{20} \approx 20\%. Acho que sou muito azarado mesmo…

Probabilidades: Macacos cegos e Vestibular para Física

06/09/2010 § 1 Comentário

Na minha época de vestibular, sempre ouvia de todos os meus professores: “Minha matéria também é importante para o vestibular, mesmo que você vá prestar uma matéria totalmente diferente disso.”. Ou seja, nós que prestamos Física devemos saber também sobre a morte de Luís XVI na Revolução Francesa e decorar os componentes da membrana plasmática. Esse é um conselho muito sábio (não que eu siga ele), mas um tanto exagerado. As pessoas deveriam estudar o que desejam e o que é realmente interessante para sua formação, independentemente de que área esse conhecimento vem.

Baseado, então, nesse estereótipo de “aluno perfeito”, que sabe um pouco de cada área e bastante da sua, resolvi checar se os vestibulares realmente testam essa multidisciplinaridade. Imagine uma garota que resolve prestar a primeira fase da FUVEST para um curso bem concorrido: Medicina. Teoricamente, ela sabe muito de Biologia e de Química, pois é uma aluna muito dedicada e essas são suas disciplinas favoritas. Mas ela também é revoltada com as outras matérias, cabula todas as aulas de matérias como Português ou História e nunca estuda esses assuntos.

No dia da prova, ela faz todas as 20 questões de suas duas matérias prediletas e, como esperava, acerta todas. Como ela realmente odeia todas as outras disciplinas, ela compra um macaco cego num zoológico e o coloca para fazer o resto da prova. Qual a chance dela passar? São 90 questões ao todo na prova, sobraram 70. A chance de acertar n questões específicas dentre as que sobraram e errar todo o resto é \frac{1}{5}^n \frac{4}{5}^{70-n}. Isso pode acontecer de \binom{70}{n} maneiras. Então, a chance de se acertar mais n questões é:

p_n =\binom{70}{n} \frac{1}{5}^n \frac{4}{5}^{70-n}

Assim, a probabilidade de acertar mais de 74 questões, nota de corte de Medicina no ano passado, ao todo é:

p = \sum_{n=54}^{70} \binom{70}{n} \frac{1}{5}^n \frac{4}{5}^{70-n} = 1,36.10^{-22}\%

Então, o macaco ceguinho nunca vai conseguir passar em Medicina. Coitadinho.

Acontece que, nessa mesma prova, um rapaz que estava prestando Física fez o mesmo que a garota revoltada. Acertou todas as questões de Matemática e Física. Depois, um outro macaco deficiente entrou em ação. Vamos fazer a mesma conta anterior para a nota de corte para Física, que é 35:

p = \sum_{n=15}^{70} \binom{70}{n} \frac{1}{5}^n \frac{4}{5}^{70-n} = 43 \%

Olha que macaco esperto! Ele tem grandes chances de passar em Física. Isso mostra como quem entra em Física tem uma ótima preparação.

O negócio fica ainda pior quando fazemos a conta para a Licenciatura em Física, nota de corte 22. Sem tomar como certas as questões de Matemática e Física, a probabilidade de um macaco cego que foi fazer a prova inteira (agora são 90 questões) passar é:

p = \sum_{n=22}^{90} \binom{90}{n} \frac{1}{5}^n \frac{4}{5}^{90-n} = 18 \%

Ou seja, se você comprar 6 macacos e colocá-los pra fazer a prova, um deles vai passar!

Post dedicado ao Billy, o macaco da minha turma.

Where Am I?

You are currently browsing the Probabilidades category at Quantasneira!.